2026年度 北嶺中学校 算数 分析と解説 (大問4)

◎大問4

本年は、平面図形から面の移動に関する問題が出題されました。

同単元からの出題は、立体図形からは2024年、平面図形からは2019年以来となりますが、「2量の変化を考察する」という着眼点から考察するのであれば、最頻出ジャンルの問題となります。

ていねいに取り組み、比較的平易な(1)を確実に正解しましょう。

 

(1)

図形(あ)、(い)の移動および面積の変化は下の図のようになっています。
(下画像をクリックすると、図をアニメーションさせることができます)

①

面積増減の割合が変化するのは、重なる部分の高さが変化したときです。

・ア(2秒後)

重なっているのは、たて3cm、横2cmの長方形の部分です。

\(3\times2=6\rm{cm^2}\)

 

・イ(5秒後)

重なっているのは、一辺5cmの正方形から、一辺2cmの正方形を除いた部分です。

\(5\times5-2\times2=21\rm{cm^2}\)

 

・ウ(19㎠)

次に面積増減の割合が変化するのは、(あ)の右端が(い)の右端と重なったときです。

このとき、(あ)は初めから7cm右に移動しているため、7秒後になります。

 

・エ(4㎠)

最後に面積増減の割合が変化するのは、(あ)の左端が(い)の5cmの辺と重なったときです。

このとき、(あ)は初めから10cm右に移動しているため、10秒後になります。

\(\underline{\rm{答. ア\cdots6,イ\cdots21,ウ\cdots7,エ\cdots10}}\)

 

②

面積変化の問題では、特定の面積を求めたい場合、グラフ上で考えた方が、実際の図形を考えるよりも早く求められます。

1回目に10㎠になる部分を、上のグラフでは赤く色づけています。

2秒後から5秒後までの3秒間で、面積は6㎠から21㎠まで15㎠増えています。したがって、面積が6㎠から10㎠まで4㎠増えるには\(3\times\cfrac{4}{15}=0.8\)秒かかります。2秒後の0.8秒後は、2+0.8=2.8秒後です。

2回目の10㎠になる部分を、上のグラフでは青く色づけています。

7秒後から10秒後までの3秒間で、面積は19㎠から4㎠まで15㎠減っています。したがって、面積が19㎠から10㎠まで9㎠減るには\(3\times\cfrac{9}{15}=1.8\)秒かかります。7秒後の1.8秒後は、7+1.8=8.8秒後です。

\(\underline{\rm{答. オ\cdots2.8,カ\cdots8.8}}\)

 

 

(2)

図形(あ)、(い)の移動は下の図のようになっています。

(下画像をクリックすると、図をアニメーションさせることができます)

①

(あ)と(う)が重なり始めるのは、\(7\div\left(1+1\right)=3.5\)秒後、重なり終えるのは\(\left(7+5+6\right)\div\left(1+1\right)=9\)秒後なので、まずは3.5秒後と9秒後の3つの図形の位置関係を考えます。

3.5秒後から9秒後まで、(あ)と(う)は一貫して(い)の内部にあるので、この間は常に3つの図形が重なっているといえます。

したがって、重なっている時間は9-3.5=5.5秒間です。

\(\underline{\rm{答. 5.5秒間}}\)

 

②

6秒後、3つの図形が全て重なっている部分は、下の図の黄色い部分です。

この部分の面積は、\(\rm{6\times6\times\cfrac{1}{2}-\left(3+2\right)\times1\times\cfrac{1}{2}-1\times1\times\cfrac{1}{2}=18-2.5-0.5=15cm^{2}}\)になります。

\(\underline{\rm{答. 15cm^{2}}}\)

 

③

辺をできるだけ多くするときにポイントになるのが、図形(い)のへこんだ部分です。下図では黄色で表しています。

図形(あ)がこの部分と重なるのは、5秒後から7秒後です。

このとき、図形(あ)、(う)が重なる部分(下図で黄色く塗りつぶされた部分)は八角形となります。

この八角形を、図形(い)の斜辺を用いて最も角が多くなるように分けることを考えます。

(い)の斜辺にあたる、45度の直線が上図のように通るとき、十角形を作ることができます。多角形の頂点と辺の数は同じであるため、辺の数は10本だと推測できます。

\(\underline{\rm{答. 10本}}\)

 

・検証

では、この図形が本当に存在しうるのかを考えます。

(あ)の黄色い部分と(う)が重なるのは、5秒後から7秒後、(い)の黄色い部分と(う)が重なるのは、5秒後から6秒後です。

したがって、辺の数が最多になるのは5秒後を超えて6秒後未満のどこかであることがわかります。

5.5秒後を境にして辺の数が変化するので、5秒後を超えて5.5秒後以下と、5.5秒後を超えて6秒後未満の図を書き出すと以下のようになります。

したがって、辺の数が最も多くなるのは5.5秒後を超えて6秒後未満の10本だとわかります。