2026年度 北嶺中学校 算数 分析と解説 (大問3)

◎大問3

本年度の大問3は、平面図形の求積を中心とする問題でした。

(5)はやや難しい問題ですが、(1)～(3)は平易な問題でしたので、確実に得点する必要があります。

 

(1)

2つの直角三角形ABDとBCDに分けて考えます。

\(10\times15\times\cfrac{1}{2}\times2=150\rm{cm^{2}}\)

\(\underline{\rm{答. 150cm^{2}}}\)

 

 

 

(2)

三角形ABEと三角形CDEについて、角E(●)は共通、角BAE=角DCE=90度より、角ABE=角CDE(×)のため、相似であるといえます。

また、三角形ABEと三角形CDEの相似比は、AB=15cm、CD=10cmより3:2、面積比は=9:4になります。

したがって、四角形ABCDと三角形CDEの面積比は5:4になるので、三角形CDEの面積は\(150\times\cfrac{4}{5}=120\rm{cm^{2}}\)です。

\(\underline{\rm{答. 120cm^{2}}}\)

 

 

(3)

三角形ABEの面積が\(150+120=270\rm{cm^{2}}\)、ABの長さが15cmなので、AEの長さは\(270\times2\div15=36\rm{cm}\)です。したがって、DEの長さは\(36-10=26\rm{cm}\)になります。

\(\underline{\rm{答. 26cm}}\)

 

 

(4)

四角形ABCDに対角線ACとBDを引き、その交点をOとします。

このとき、三角形ABDと三角形CBDは合同な三角形であるので、四角形ABCDはBDを対称の軸とする線対称の図形であり、ACとBDは垂直に交わることがわかります。

三角形BCDを、三角形CODと三角形BOCの2つに分けたところ、角O=90度より、これらの三角形は三角形BCDと相似形であるといえます。CD:BC=2:3より、OD:CO=CO:OB=2:3であるので、OD:CO:OB=4:6:9になります。COはACの半分なので、CO:BD=6:13より、AC:BD=12:13です。

 

\(\underline{\rm{答. 12:13}}\)

 

 

(5)

ACとBDは垂直に交わっているので、\(\rm{AC\times BD\times\cfrac{1}{2}=150cm^{2}}\)です。

ここから、ACとBDをそれぞれ一辺とする長方形の面積は、\(\rm{AC\times BD=300cm^{2}}\)になります。

(4)より、AC:BD=12:13なので、ACを一辺とする正方形の面積は、ACとBDをそれぞれ一辺とする長方形の面積の\(\cfrac{12}{13}\)倍になるので、その面積は\(300\times\cfrac{12}{13}=276\cfrac{12}{13}\rm{cm^{2}}\)とわかります。

\(\underline{\rm{答. 276\cfrac{12}{13}cm^{2}}}\)